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71. romberg


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71.1 Functions and Variables for romberg

関数: romberg (expr, x, a, b)
関数: romberg (F, a, b)

Romberg法による数値積分を計算します。

romberg(expr, x, a, b)は積分 integrate(expr, x, a, b)の概算を返します。

exprは、 xが浮動小数点値にバインドされた時 浮動小数点値に評価される式でなければいけません。

romberg(F, a, b)は積分 integrate(F(x), x, a, b)の概算を返します。 ここで、 xFの名付けられない唯一の引数を表します; 実際の引数は xと名付けられません。 Fは、引数が浮動小数点値の時、浮動小数点値を返す Maximaか Lispの関数でなければいけません。 Fは翻訳またはコンパイルされた Maxima関数を指定することができます。

グローバル変数 rombergabsrombergtolrombergの精度を決定します。 rombergは、連続する近似の間の絶対差が rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。

rombergは、 あきらめる前に、せいぜい rombergit回、ステップサイズを半分にします; それゆえ関数評価の最大回数は 2^rombergitです。 もし rombergabsrombergtolによって確立される誤差基準が満たされないなら、 rombergはエラーメッセージを印字します。 rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

rombergは、積分変数を特定の値にバインド(する前ではなく)した後、 被積分関数を繰り返し評価します。 この評価ポリシーは、多次元積分を計算するための rombergの入れ子のコールを可能にします。 しかしながら、誤差計算は入れ子の積分の誤差を考慮しないので、 エラーは過小評価されるかもしれません。 また、多次元問題のために特別に工夫された方法は より少ない関数評価で同じ精度をもたらす可能性があります。

load(romberg)はこの関数をロードします。

QUADPACK、数値積分関数のコレクションも参照してください。

例:

1次元積分。

 
(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
              + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
                    1                 1                1
(%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
                     2    1           2    1            2    1
              (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
                         100              1000              200
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) rombergit : 15;
(%o4)                          15
(%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
(%o5)                   173.6730736617464
(%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
(%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
 + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
 + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
(%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o7)                7.5527060865060088E-11

rombergの入れ子のコールで実装された 2次元積分。

 
(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
                                    x y
(%o2)                   g(x, y) := -----
                                   x + y
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
(%o4)                   0.81930239628356
(%i5) assume (x > 0);
(%o5)                        [x > 0]
(%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
                                          3
                                    2 log(-) - 1
                    9                     2        9
(%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
                    2                    6         2
(%i7) exact : radcan (%);
                    26 log(3) - 26 log(2) - 13
(%o7)             - --------------------------
                                3
(%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o8)                1.3711979871851024E-10

オプション変数: rombergabs

デフォルト値: 0.0

グローバル変数 rombergabsrombergtolrombergの精度を決定します。 rombergは、連続する近似の間の絶対差が rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。

rombergitrombergminも参照してください。

·

Categories:  Package romberg

オプション変数: rombergit

デフォルト値: 11

rombergは、あきらめる前に、せいぜい rombergit回、ステップサイズを半分にします; それゆえ、関数評価の最大回数は 2^rombergitです。 rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

rombergabsrombergtolも参照してください。

·

Categories:  Package romberg

オプション変数: rombergmin

デフォルト値: 0

rombergはいつも、少なくとも rombergmin回の繰り返しを行います; これは、被積分関数が振動的な時、見せかけの終了を防ぐつもりの発見的方法です。

rombergit, rombergabs, rombergtolも参照してください。

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Categories:  Package romberg

オプション変数: rombergtol

デフォルト値: 1e-4

グローバル変数 rombergabsrombergtolrombergの精度を決定されます。 rombergは、連続する近似の間の絶対差が rombergabsよりも小さい時か、連続する近似に関する相対差が rombergtolよりも小さい時、成功のうちに終了します。 従って、 rombergabsが 0.0 (デフォルト)の時、 相対誤差テストだけが rombergに効果を持ちます。

rombergitrombergminも参照してください。

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Categories:  Package romberg


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