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それぞれの和や積に独自のインデックスを与えることで式 exprを変換します。
これは、和や積と一緒に機能する時
changevarによりよい精度を与えます。
独自のインデックスの形式は jnumberです。
量 numberは gensumnumに参照することで決定されます。
ユーザーはこれを変更することができます。
例えば、 gensumnum:0$はそれを再設定します。
Categories: Sums and products
Lの中のそれぞれの要素 xに関する exprの和を表します。
もし引数 Lがリストに評価されないなら、名詞形 'lsumを返します。
例:
(%i1) lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
7 2
(%o1) x + x + x
(%i2) lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1, x));
====
\ 2
(%o2) > i
/
====
3
i in rootsof(x - 1, x)
|
Categories: Sums and products
和の外側の掛け算因子を内側に移動します。
もし外側の式でインデックスが使われているなら、
関数は sumcontractに関してするのと同じように、
合理的なインデックスを見つけようとします。
これは、本質的に和の outativeプロパティの逆の考えですが、
このプロパティを取り除かず、ただ無視するだけであることに注意してください。
いくつかの場合、
intosumの前に
scanmap (multthru, expr)が必要になるかもしれません。
Categories: Expressions
デフォルト値: false
simpproductが trueの時
productの結果は整理されます。
この整理は時々閉形式を生成することができるかもしれません。
もし simpproductが falseか
引用形式 'productが使われたなら、
値は数学で使われるpi記法の表現である積の名詞形です。
Categories: Sums and products · Simplification flags and variables
インデックス iが i_0から i_1まで変わるように
exprの値の積を返します。
名詞形 'productは、大文字Πとして表示されます。
productは exprと下限上限 i_0、i_1を評価し、
productはインデックス iをクォートします（評価しません）。
もし上限と下限が整数差だけ違うなら、 exprはインデックス iのそれぞれの値に関して評価され、 結果は明示的な積です。
そうでなければ、インデックスの範囲は不定です。
積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
グローバル変数 simpproductが trueの時、更なる規則が適用されます。
いくつかの場合、式整理は積でない結果を出力します;
そうでないなら、結果は名詞形 'productです。
例:
(%i1) product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
(%o1) (x + 1) (x + 3) (x + 6) (x + 10)
(%i2) product (i^2, i, 1, 7);
(%o2) 25401600
(%i3) product (a[i], i, 1, 7);
(%o3) a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7
(%i4) product (a(i), i, 1, 7);
(%o4) a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7)
(%i5) product (a(i), i, 1, n);
n
/===\
! !
(%o5) ! ! a(i)
! !
i = 1
(%i6) product (k, k, 1, n);
n
/===\
! !
(%o6) ! ! k
! !
k = 1
(%i7) product (k, k, 1, n), simpproduct;
(%o7) n!
(%i8) product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
n
/===\
! ! 1
(%o8) ! ! -----
! ! k + 1
k = 1
(%i9) product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
15 40
(%o9) a b
|
Categories: Sums and products
デフォルト値: false
simpsumが trueの時、 sumの結果は整理されます。
この整理は、時々、閉形式を生成することができるかもしれません。
もし simpsumが falseであるか、クォートされた形
'sumが使われたなら、値は数学で使われるΣ表示の表現である和の名詞形です。
Categories: Sums and products · Simplification flags and variables
インデックス iが i_0から i_1まで変わるように
exprの値の和を返します。
名詞形 'sumは大文字Σとして表示されます。
sumは被和 exprと下限上限 i_0, i_1を評価し、
sumはインデックス iをクォートします（評価しません）。
もし上限と下限が整数差だけ違うなら、被和 exprはインデックス iのそれぞれの値に関して評価され、結果は明示的な和です。
そうでないならインデックスの範囲は不定です。
積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
グローバル変数 simpsumが trueの時、
更なる規則が適用されます。いくつかの場合、式整理は和でない結果を出力します;
そうでないなら、結果は名詞形 'sumです。
evflag(評価フラグ) cauchysumが trueの時、
和の積はコーシー積として表現されます。
コーシー積では内側の和のインデックスは独立に変化するのではなく、
外側の和のインデックスの関数になります。
グローバル変数 genindexは、
和の次のインデックスを生成するのに使われるアルファベット前置です。
gensumnumは、自動生成されるインデックスが必要な時
和の次のインデックスを生成するのに使われる数値接尾です。
gensumnumが falseの時,
自動生成されるインデックスは接尾なしの genindexのみです。
sumcontract, intosum, bashindices, niceindices,
nouns, evflag, zeilbergerも参照してください。
例:
(%i1) sum (i^2, i, 1, 7);
(%o1) 140
(%i2) sum (a[i], i, 1, 7);
(%o2) a + a + a + a + a + a + a
7 6 5 4 3 2 1
(%i3) sum (a(i), i, 1, 7);
(%o3) a(7) + a(6) + a(5) + a(4) + a(3) + a(2) + a(1)
(%i4) sum (a(i), i, 1, n);
n
====
\
(%o4) > a(i)
/
====
i = 1
(%i5) sum (2^i + i^2, i, 0, n);
n
====
\ i 2
(%o5) > (2 + i )
/
====
i = 0
(%i6) sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
3 2
n + 1 2 n + 3 n + n
(%o6) 2 + --------------- - 1
6
(%i7) sum (1/3^i, i, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o7) > --
/ i
==== 3
i = 1
(%i8) sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
1
(%o8) -
2
(%i9) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o9) 30 > --
/ 2
==== i
i = 1
(%i10) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
2
(%o10) 5 %pi
(%i11) sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
n
====
\ 1
(%o11) > -----
/ k + 1
====
k = 1
(%i12) sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
10 9 8 7 6 5 4 3 2
(%o12) b + b + b + b + b + a + a + a + a + a
|
Categories: Sums and products
定数だけ異なる上限と下限を持つ足し算の和すべてを結合します。
結果は、そんな和のそれぞれの集合の和に
この和を形成するために抽出されなければならなかった適切な余項
(appropriate extra term)すべてを加えた式です。
sumcontractは互換性のある和すべてを結合し、
可能なら和の1つからインデックスの1つを使い、
もし供給されたどれもが使えないなら合理的なインデックスを形成するよう試みます。
sumcontractの前に
intosum (expr)を実行する必要があるかもしれません。
Categories: Sums and products
デフォルト値: false
sumexpandが trueの時、和の積と指数和は、入れ子の和に整理されます。
cauchysumも参照してください。
例:
(%i1) sumexpand: true$
(%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
m n
==== ====
\ \
(%o2) > > f(i1) g(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
(%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
m m
==== ====
\ \
(%o3) > > f(i3) f(i4)
/ /
==== ====
i3 = 0 i4 = 0
|
Categories: Sums and products · Simplification flags and variables
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Maximaには微分可能な関数の級数を見つけるための関数
taylorと powerseriesが入っています。
ある級数の閉形式を見つけることができる nusumのようなツールもあります。
足し算や掛け算のような演算は級数上で普通に機能します。
この節では展開を制御するグローバル変数を提供します。
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デフォルト値: false
上限として infを持つ和同士を掛ける時、
もし sumexpandが trueで、かつ cauchysumが trueなら、
通常の積ではなく Cauchy積が使われます。
Cauchy積では内側の和のインデックスは独立に変化するのではなく、外側のインデックスの関数です。
例:
(%i1) sumexpand: false$
(%i2) cauchysum: false$
(%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
inf inf
==== ====
\ \
(%o3) ( > f(i)) > g(j)
/ /
==== ====
i = 0 j = 0
(%i4) sumexpand: true$
(%i5) cauchysum: true$
(%i6) expand(s,0,0);
inf i1
==== ====
\ \
(%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
|
Categories: Sums and products
deftaylorは、ある変数 x_iの関数 f_iそれぞれに関して、
expr_iをゼロの回りの Taylor級数と定義します。
expr_iは典型的には x_iの多項式か和です;
deftaylorはもっと一般的な式も問題なく受け付けます。
powerseries (f_i(x_i), x_i, 0)は
deftaylorで定義された級数を返します。
deftaylorは関数 f_1, ..., f_nのリストを返します。
deftaylorは引数を評価します。
例:
(%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
(%o1) [f]
(%i2) powerseries (f(x), x, 0);
inf
==== i1
\ x 2
(%o2) > -------- + x
/ i1 2
==== 2 i1!
i1 = 4
(%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
2 3 4
x 3073 x 12817 x
(%o3)/T/ 1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
2 18432 307200
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Categories: Power series
デフォルト値: true
maxtayorderが trueの時、(切り詰められた) Taylor級数の代数操作の間、
taylorは厳密とわかっているできるだけ多くの項を保とうとします。
Categories: Power series
exprの中の和や積のインデックスを改名します。
niceindicesは、その名前が被加数や非積数の中に現れないなら、
インデックスそれぞれを niceindicespref[1]の値に改名しようとします。
現れた場合、
niceindicesは
未使用の変数が見つかるまで niceindicesprefの次の要素を順に試します。
もしリスト全部が使い果たされたら、
例えば i0, i1, i2, ....というように
niceindicespref[1]の値に整数を追加することで、
追加のインデックスを構成します。
niceindicesは式を返します。
niceindicesは引数を評価します。
例:
(%i1) niceindicespref;
(%o1) [i, j, k, l, m, n]
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j l + k)
! ! /
l = 1 ====
k = 1
|
Categories: Sums and products
デフォルト値: [i, j, k, l, m, n]
niceindicesprefは、
niceindicesが和や積のインデックスに使う名前の
リストです。
niceindicesprefの要素は通常、変数名です。
しかし、niceindicesがこれを強制するわけではありません。
例:
(%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j q + p)
! ! /
q = 1 ====
p = 1
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Categories: Sums and products
R.W. Gosperによる決定手続きを使って、 xに関する exprの不定超幾何総和を実行します。 exprと結果は整数べき、階乗、二項式、有理関数の積として表現可能でなければいけません。
用語「定」と「不定和」は「定」と「不定積分」へ類似して使われています。
不定に和を取ることは、ただ例えば0からinfまで和を取るのではなく、
可変な長さの区間上の和に関してシンボリックな結果を与えることを意味します。
例えば、二項級数の一般的な部分和に関する公式はないので、
nusumはそれができません。
nusumと unsumは有限積の和と差について少し知っています。
unsumも参照してください。
例:
(%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
Dependent equations eliminated: (1)
(%o1) (n + 1)! - 1
(%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o2) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i3) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o3) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
n - 1
/===\
! ! 2
(%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
! !
i = 1
(%i5) nusum (%, n, 1, n);
Dependent equations eliminated: (2 3)
n
/===\
! ! 2
(%o5) ! ! i - 1
! !
i = 1
|
Categories: Sums and products
以下の有理関数すべてのリストを返します。 与えられたTaylor級数展開で、分子と分母の次数の和がべき級数の切り詰めレベル以下のもの すなわち「最良」近似を有理関数は持ち、加えて指定された次数範囲を満たすものです。
taylor_seriesは１変数Taylor級数です。 numer_deg_boundと denom_deg_boundは分子と分母上の次数範囲を指定する正の整数です。
taylor_seriesは Laurent級数も可能です。
次数範囲は、infも可能で、
総次数が冪級数の長さ以下の有理関数すべてを返すことになります。
総次数は
numer_deg_bound + denom_deg_boundとして定義されます。
べき級数の長さは
"truncation level" + 1 - min(0, "order of series")として定義されます。
(%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
2 3
(%o1)/T/ 1 + x + x + x + . . .
(%i2) pade (%, 1, 1);
1
(%o2) [- -----]
x - 1
(%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
+ 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
+ 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
+ 67108864*x - 134217728)
/134217728, x, 0, 10);
2 3 4 5 6 7
x 3 x x 15 x 23 x 21 x 189 x
(%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
2 16 32 1024 2048 32768 65536
8 9 10
5853 x 2847 x 83787 x
+ ------- + ------- - --------- + . . .
4194304 8388608 134217728
(%i4) pade (t, 4, 4);
(%o4) []
|
このべき級数展開を持つ次数4の分子/分母の有理関数はありません。 一般的に、 解くのに十分な数の未知の係数を持つために、 その和が少なくともべき級数の次数になるまで 分子の次数と分母の次数を増やさなければいけません。
(%i5) pade (t, 5, 5);
5 4 3
(%o5) [- (520256329 x - 96719020632 x - 489651410240 x
2
- 1619100813312 x - 2176885157888 x - 2386516803584)
5 4 3
/(47041365435 x + 381702613848 x + 1360678489152 x
2
+ 2856700692480 x + 3370143559680 x + 2386516803584)]
|
Categories: Power series
変数 xに関する点 a (無限大のためには infかもしれません)の回りの
exprのべき級数展開の一般形式を返します:
inf
====
\ n
> b (x - a)
/ n
====
n = 0
|
もし powerseriesが exprを展開することができないなら、
taylorが級数の最初のいくつかの項を与えることができます。
verboseが trueの時、
powerseriesは進捗メッセージを印字します。
(%i1) verbose: true$
(%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
can't expand
log(sin(x))
so we'll try again after applying the rule:
d
/ -- (sin(x))
[ dx
log(sin(x)) = i ----------- dx
] sin(x)
/
in the first simplification we have returned:
/
[
i cot(x) dx - log(x)
]
/
inf
==== i1 2 i1 2 i1
\ (- 1) 2 bern(2 i1) x
> ------------------------------
/ i1 (2 i1)!
====
i1 = 1
(%o2) -------------------------------------
2
|
Categories: Power series
デフォルト値: false
psexpandが trueの時、
拡張有理関数展開が完全に展開されて表示されます。
スイッチ ratexpandは同じ効果を持ちます。
psexpandが falseの時、
多変数式がちょうど有理関数パッケージと同じように表示されます。
psexpandが multiの時、
変数に関する同じ総次数の項は一緒にまとめられます。
Categories: Display flags and variables
これらの関数は、変数 xに関するゼロの回りの Taylor級数 exprの反転を返します。
revertは exprの最高次数と等しい次数の多項式を返します。
revert2は次数 nの多項式を返します。
nは exprの次数よりも大きい値も小さい値も同じ値も取り得ます。
load ("revert")はこれらの関数をロードします。
例:
(%i1) load ("revert")$
(%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o2)/T/ x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
2 6 24 120 720
(%i3) revert (t, x);
6 5 4 3 2
10 x - 12 x + 15 x - 20 x + 30 x - 60 x
(%o3)/R/ - --------------------------------------------
60
(%i4) ratexpand (%);
6 5 4 3 2
x x x x x
(%o4) - -- + -- - -- + -- - -- + x
6 5 4 3 2
(%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o5)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
2 3 4 5 6
(%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
(%o6) 0
(%i7) revert2 (t, x, 4);
4 3 2
x x x
(%o7) - -- + -- - -- + x
4 3 2
|
Categories: Power series
taylor (expr, x, a, n)は 式exprを変数
xの aの周りの TaylorもしくはLaurent級数を
(x - a)^nまで展開します。
もし exprが形式 f(x)/g(x) の形であり、
g(x)が n次まで項を持たないなら、
taylorは g(x)を 2 n次まで展開しようとします。
もしまだ 0でない項がないなら、
taylorは、展開の次数が n 2^taylordepth以下である限り
g(x)の展開の次数を倍にしていきます。
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], a,
n)は、すべての変数 x_1, x_2, ...について点
(a, a, , ...)の周りで n次までのべき級数を返します。
taylor (expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2,
a_2, n_2], ...)は、変数 x_1, x_2, ...について点
(a_1, a_2, ...)の回りで
n_1次, n_2次, ....まで展開したべき級数を返します。
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], [a_1, a_2,
...], [n_1, n_2, ...])は、変数
x_1, x_2, ...について点
(a_1, a_2, ...)の回りで
n_1次, n_2次, ....まで展開したべき級数を返します。
taylor (expr, [x, a, n, 'asymp])は、
exprの x - aの負のべき乗展開を返します。
最高次の項は (x - a)^-nです。
maxtaylorderが trueの時、（丸められた）Taylor級数の代数操作の間、
talyorは正確とわかっている限り多くの項を保とうとします。
psexpandが trueの時、拡張有理関数式はフルに展開されて表示されます。
スイッチ ratexpandは同じ効果を持ちます。
psexpandが falseの時、
有理関数パッケージのように多変数式が表示されます。
psexpandが multiなら、同じ総次数の項が一緒にグループ化されます。
展開を制御するには taylor_logexpandスイッチも参照してください。
例:
(%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
2 2
(a + 1) x (a + 2 a + 1) x
(%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
2 8
3 2 3
(3 a + 9 a + 9 a - 1) x
+ -------------------------- + . . .
48
(%i2) %^2;
3
x
(%o2)/T/ 1 + (a + 1) x - -- + . . .
6
(%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x
(%o3)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
2 8 16 128 256
(%i4) %^2;
(%o4)/T/ 1 + x + . . .
(%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
inf
/===\
! ! i 2.5
! ! (x + 1)
! !
i = 1
(%o5) -----------------
2
x + 1
(%i6) ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
2 3
(%o6)/T/ 1 + 2.5 x + 3.375 x + 6.5625 x + . . .
(%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
2 3
1 1 x x 19 x
(%o7)/T/ - + - - -- + -- - ----- + . . .
x 2 12 24 720
(%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
4
2 x
(%o8)/T/ - x - -- + . . .
6
(%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
(%o9)/T/ 0 + . . .
(%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
2 4
1 1 11 347 6767 x 15377 x
(%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
6 4 2 15120 604800 7983360
x 2 x 120 x
+ . . .
(%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
2 2 4 2 4
k x (3 k - 4 k ) x
(%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
2 24
6 4 2 6
(45 k - 60 k + 16 k ) x
- -------------------------- + . . .
720
(%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
2 2 3 2 3
(n - n) x (n - 3 n + 2 n) x
(%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
2 6
4 3 2 4
(n - 6 n + 11 n - 6 n) x
+ ---------------------------- + . . .
24
(%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
3 2
y y
(%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
6 2
3 2
y y 2 1 y 3
+ (- - + -- + . . .) x + (- - + -- + . . .) x + . . .
2 12 6 12
(%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
x + 3 y x + 3 y x + y
(%o14)/T/ y + x - ------------------------- + . . .
6
(%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
1 y 1 1 1 2
(%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
y 6 2 6 3
y y
1 3
+ (- -- + . . .) x + . . .
4
y
(%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
1 x + y 7 x + 21 y x + 21 y x + 7 y
(%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
x + y 6 360
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Categories: Power series
デフォルト値: 3
もしまだ非ゼロ項がないなら、展開の次数が
n 2^taylordepth以下である限り、
taylorは g(x)の展開の次数を倍にします。
Categories: Power series
Taylor級数 exprについての情報を返します。 戻り値はリストのリストです。 リストそれぞれは、変数名、展開点、展開次数から構成されます。
もし exprが Taylor級数でないなら、
taylorinfoは falseを返します。
例:
(%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
2 2
(%o1)/T/ - (y - a) - 2 a (y - a) + (1 - a )
2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 3
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x + . . .
(%i2) taylorinfo(%);
(%o2) [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
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Categories: Power series
もし exprが Taylor級数なら trueを、
そうでないなら falseを返します。
Categories: Predicate functions · Power series
デフォルト値: true
taylor_logexpandは taylor級数の中の対数の展開を制御します。
taylor_logexpandが trueの時、
対数すべては完全に展開されるので、
対数的恒等式を含むゼロ認識問題は展開プロセスを邪魔しません。
しかしながら、分岐情報を無視するのでこの方法はいつも数学的に正しいわけではありません。
taylor_logexpandが falseに設定されている時、
なされる対数の唯一の展開は形式的なべき級数を得るのに必要なものです。
Categories: Power series · Exponential and logarithm functions
デフォルト値: true
taylor_order_coefficientsは Taylor級数の中の係数の順序付けを制御します。
taylor_order_coefficientsが trueの時、
Taylor級数の係数は標準に順序付けられます。
Categories: Power series
べき級数 exprの係数を整理します。
taylorがこの関数をコールします。
Categories: Power series
デフォルト値: true
taylor_truncate_polynomialsが trueの時、
多項式は入力切り詰めレベルを基礎に切り詰められます。
そうでないなら、 taylorへの多項式入力は不定の精度を持つと考えられます。
Categories: Power series
taylor形式から標準有理式 (CRE)形式に
exprを変換します。
効果は rat (ratdisrep (expr))と同じですがより速いです。
Categories: Power series · Rational expressions
一般式 exprの内部表現に注釈をする(annotate)ので、まるでその和が切り詰められた Taylor級数かのように表示されます。 exprは別に変更されません。
例:
(%i1) expr: x^2 + x + 1;
2
(%o1) x + x + 1
(%i2) trunc (expr);
2
(%o2) 1 + x + x + . . .
(%i3) is (expr = trunc (expr));
(%o3) true
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Categories: Power series
最初の後方差 f(n) - f(n - 1)を返します。
従って unsumはある意味 sumの逆です。
nusumも参照してください。
例:
(%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
n
p 4
(%o1) g(p) := ----------------
binomial(2 n, n)
(%i2) g(n^4);
4 n
n 4
(%o2) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i3) nusum (%, n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o3) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i4) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o4) ----------------
binomial(2 n, n)
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Categories: Sums and products
デフォルト値: false
verboseが trueの時、
powerseriesは進捗メッセージを印字します。
Categories: Power series
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fourieパッケージは Fourier級数のシンボル計算のための関数を含みます。
fourieパッケージの中には
Fourier積分係数を計算する関数や式の操作のためのいくつかの関数があります。
Categories: Fourier transform · Share packages · Package fourie
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もし equal (x, y)なら trueを返し、
そうでないなら falseを返します。
(この場合 equal (x, y)がするようなエラーメッセージを与えません。)
Categories: Package fourie
remfun (f, expr)は
exprの中の f (arg)すべてを argで置き換えます。
remfun (f, expr, x)は
exprの中の f (arg)を
argが変数 xを含むときだけ
argで置き換えます。
Categories: Package fourie
もし exprが関数 fを含むなら
funp (f, expr)は trueを返します。
もし exprが関数 fを含み、変数
xが fのインスタンスの１つの引数のどこかにあるなら、
funp (f, expr, x)は trueを返します。
Categories: Package fourie
absint (f, x, halfplane)は、
与えられた半平面 (pos, neg, またはboth)での
fの xに関する不定積分を返します。
fは形式
abs (x), abs (sin (x)),
abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))の式を含むことができます。
absint (f, x)は
absint (f, x, pos)と同値です。
absint (f, x, a, b)は
xに関する fの aからbまでの定積分を返します。
fは絶対値を含むことができます。
Categories: Package fourie · Integral calculus
区間 [-p, p]上で定義された f(x)の
Fourier係数のリストを返します。
Categories: Package fourie
もし sinnpiflagが trueなら sin (n %pi)を0に整理します。
もし cosnpiflagが trueなら cos (n %pi)を
(-1)^nに整理します。
Categories: Package fourie · Trigonometric functions · Simplification functions
デフォルト値: true
foursimpを参照してください。
Categories: Package fourie
デフォルト値: true
foursimpを参照してください。
Categories: Package fourie
Fourier係数 lのリストから
limit項までのFourier級数を構成して返します。
(limitは infも取り得ます。)
xと pは fourierにおけるものと同じ意味を持ちます。
Categories: Package fourie
[0, p]上で定義された
f(x)の Fourierコサイン係数を返します。
Categories: Package fourie
[0, p]上で定義された
f(x)の Fourierサイン係数を返します。
Categories: Package fourie
fourexpand (foursimp (fourier (f, x, p)),
x, p, 'inf)を返します。
Categories: Package fourie
[minf, inf]上で定義された
f(x)の Fourier積分係数のリストを構成して返します。
Categories: Package fourie
[0, inf]上の f(x)の Fourierコサイン積分係数を返します。
Categories: Package fourie
[0, inf]上の f(x)の Fourierサイン積分係数を返します。
Categories: Package fourie
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aを Poisson符号に変換します。
Categories: Poisson series
aを Poisson符号から一般表現に変換します。
もし aが Poisson形式でないなら、
outofpoisは変換を実行します。
すなわち、その戻り値は outofpois (intopois (a))です。
例えば、この関数は特定のタイプのサインやコサイン項のべきの和に関する標準
(canonical)整理器です。
Categories: Poisson series
aを bに関して微分します。 bは三角関数の引数の中だけか係数の中だけにいなければいけません。
Categories: Poisson series
関数的に intopois (a^b)と同一です。
bは正の整数でなければいけません。
Categories: Poisson series
(poisdiffと)同様に制限された意味で積分します。
もし bが三角関数の引数の中にあるなら bの中の非周期的項を落とします。
Categories: Poisson series
デフォルト値: 5
poislimは三角関数の引数の中の係数の領域を決定します。
初期値 5は区間 [-2^(5-1)+1,2^(5-1)] すなわち[-15,16]に対応しますが、
[-2^(n-1)+1, 2^(n-1)]に設定することができます。
Categories: Poisson series
関数 sinfnを与えられた Poisson級数のサイン項に、 cosfnをコサイン項にマップします。 sinfnと cosfnは ２引数関数です。 引数それぞれは級数の中の項の係数と三角関数部です。
Categories: Poisson series
関数的に intopois (a + b)と同一です。
Categories: Poisson series
aを一般表現の aに関する Poisson級数に変換します。
Categories: Poisson series
シンボル /P/は Poisson級数式の行ラベルに続きます。
Categories: Poisson series
aを cの中の bに代入します。 cは Poisson級数です。
(1) bが変数 u, v, w, x, y,
zのいずれかの場合、
aはそれらの変数に関して線形の式(例えば 6*u + 4*v)でなければいけません。
(2) bはそれらの変数以外の場合、 aもまたそれらの変数を含んではいけなく、さらにサインもコサインも含んではいけません。
poissubst (a, b, c, d, n)は上のタイプ
(1)のようにaと bに関して演算しますが、
dが Poisson級数の場合、
cの中で bに a + dを代入した結果を供給するために、
cos(d)と sin(d)を次数
nに展開する特殊なタイプの代入です。
アイデアは dが小さなパラメータの項に関する展開だということです。
例えば、
poissubst (u, v, cos(v), %e, 3)は
cos(u)*(1 - %e^2/2) - sin(u)*(%e - %e^3/6)をもたらします。
Categories: Poisson series
intopois (a*b)と同じ機能です。
Categories: Poisson series
(もしユーザーがそれを定義したら)
Poisson乗算の間、適用する予約関数です。
項の中の u, v, ..., zの係数を引数とする６引数の述語論理関数です。
(この項の係数に関して) poistrimが trueとなる項は乗算の間に消去されます。
Categories: Poisson series
可読フォーマットで Poisson級数を印字します。
outofpoisと共通で、もし必要なら aを最初に Poisson符号に変換します。
Categories: Poisson series · Display functions
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This document was generated by 市川雄二 on October, 4 2018 using texi2html 1.76.